用途：
ベクトルは状態変数など、状態量をあらわすのに使用。
ベクトルの加算、スカラ倍：
行列は数字や関数を縦ｍ行×横ｎ列の形に並べたものです。
一般に大文字、ボールド表記。
特にｍ＝ｎの場合、ｎ次正方行列といいます。
ベクトルは行列の特殊な例(ｎ×１、１×ｍ)とも見ることができます(行列とベクトルの演算は行列同士の演算として扱える)。
用途：
注意：
ベクトルの内積：
ベクトルの内積はその平行具合いを示します。２、３次元では成す角度をθとして、
となります。定義から、
であるため、状態量の大きさ評価として用いられる場合もあります。また、
と行列の積として書くことがあります。
例)
(２×３)
各成分を個別に扱うときには
行列はシステムを表したり、システムを評価したり、値の重要度を重み付けしたり、この科目では非常に多用されます。使えるようにしましょう。
行列の基本演算：
行列の和は行の数および列の数が等しい行列間のみで定義できます。
スカラ倍は各要素がスカラ倍になります。
行列の積：
行列の積は、行列がｌ×ｍとｍ×ｎの形と、一つ目の行と二つ目の列の数が一致するときのみ定義でき、ｌ×ｎの行列が出来ます(もちろん l=m=n という場合もあり)。
定義は上式のようになりますが、覚えるときは以下のようなイメージで覚えると分かりやすいかもしれません。
一般に、
ことに注意。そのため、行列の乗算を行うときは、「右からかける」「左からかける」と掛け方に注意します。
例)
左からCをかけた
左右をごちゃまぜした
行列によるベクトルの変換：
たとえば、３次のベクトルに左から３×３の行列をかけると、再び３次のベクトルになります。
行列の積の転置については以下の式が成り立ちます。
行列の積の転置は個々の行列の転置を逆順にして乗じたものです。
行列の分解、合成：
ｍ行ｎ列の行列Ａに対して、
のように、縦ベクトル、横ベクトルに分割して考えることがあります。それぞれ、列ベクトル、行ベクトルといいます。
同様に、
のように行列を並べて行列を作ったり(縦線を引く場合と引かない場合とありますが書き方が違うだけ)、
のように、行列とベクトルをセットにして行列にすることもあります。
また、
のように縦横に組むこともあります。
表記：
計算：
行列式には以下の性質があります。
行列
２次正方行列：
３次正方行列：
以上のルールは列に対しても成立。
ある行の要素すべてに共通の因子がある場合、それをくくりだせる。
※ただし、３つの行列でｉ行以外は共通。
ある行に注目して、二つの行列式の和に分解できる。
この余因子を使うと、より高次の行列式を計算できます。
計算：
性質：
逆行列は、「行列の逆数」「行列分の１」的な扱いが可能であるため、今後の制御理論の式変形などで多用されます。
で求めます。全要素に対する余因子を計算して、ならべて行列にして、転置して、行列式で割る、です。
「積の逆行列」は個々の行列の逆行列の逆順の積」になります。(c.f.転置)
階数を求めるには、以下の基本変形を行います。
定義より、
この方程式、
が成り立ちます。ここで
となる必要があります。
※この行列式が０でなければ逆行列が存在し、
※
※となってしまうため。
を特性方程式と呼びます。なお、
ならば、
も成立します。固有ベクトルの大きさは定まらず、各要素の比率(ベクトルの方向)のみ定まります。
また、特性方程式はλのｎ次方程式になるため、重解がなければ固有値、固有ベクトルはｎ組あります。
重解の場合、対応する固有ベクトルはｎ本得られることもありますが、足りなくなる場合もあります。
補足：
検算：
ちなみに：
それぞれに対応する固有ベクトルを求める。
s=2:
s=3:
１行目を(1,0,0,0)にする。
※２列目＝２列目−１列目×２、４行目＝４行目＋１行目
１行目で余因子展開。
３行目を(0,1,0)にする。
※１列目＝１列目＋２列目×６
３行目で余因子展開。
行列式：
余因子行列：
よって、逆行列は
となる。
注意：
ではない(すごく間違いそうな例)。
２行目に１行目の（−３）倍を加える
これ以上操作できず、３行目まで数値があるので、rank=3。
１行目と２行目を入れ替える。
３行目に２行目の（−６）倍を加える。
これ以上操作できず、２行目まで数値があるので、rank=2。
特性方程式は
よって、固有値はs=1,2,3である。
s=1:
よって、v1=v2=v3である。たとえば、v1=1として、
となる。
第２式の２倍から第１式を引くと、v1=0が確定, あとはv2=v3であるため、たとえばv2=1として、
を得る。
第２式の２倍から第１式を引くと、v2=0が確定。あとはv1=v3であるため、たとえばv1=1として、
を得る。