\def\Mto#1#2{\left(\begin{array}{r}#1 \\ #2\end{array}\right)} \def\Mtt#1#2#3#4{\left(\begin{array}{rr}#1 \\ #3\end{array}\right)} \def\Mso#1#2#3{\left(\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3\end{array}\right)} \def\Mss#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\left(\begin{array}{rrr}#1 \\ #4 \\ #7 \end{array}\right)} \def\Mqo#1#2#3#4{\left(\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4\end{array}\right)} \def\Mqqa#1#2#3#4#5#6#7#8{\left(\begin{array}{rrrr}#1 \\ #5 \\} \def\Mqqb#1#2#3#4#5#6#7#8{#1 \\ #5\end{array}\right)}

このページは講義に関連して実施した、プチテスト、レポートの解答例です。講義で解けなかったときや、あとでやりかたを忘れてしまったときなどに見てください。なお、解答作成には万全の注意を払っていますが、間違いを見つけた場合には至急連絡をお願いします。

Ｑ１：
下記の行列の積をもとめよ

Ｑ２：
下記の行列の固有値を求めよ

Ａ１：

Ａ２：
つかう数学：計算例の一番下で解説すみ。Ｑ１：

の逆行列を求めよ。
Ｑ２：
求めた逆行列ともとの行列の積が単位行列になることを確認せよ。

Ａ１：
まず、逆行列を持つことを確認する意味でも、行列式を求める。

０ではないので、逆行列をもつ。

次に余因子行列を求める

逆行列はこれを転置して、かつ、行列式で割って得られるので、

となる。
※解答の中で、上式の中間で止まっている例が大半を占めましたが、常識の範囲で負号を全部相殺すべきです。そうでなくとも、負号を行列の中にいれること。

Ａ２：

ちゃんと計算みること。"=I"と書くだけなら簡単ですが、なんのチェックにもなりません。Ｑ：

の固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。

まず、固有値を求める。

よって、固有値は0,1,2である。

次に、個々の固有値に対応する固有ベクトルを求める。

s1=0:

よって、

となる。(1)および(2)より、v2=v3, v1=v3 という関係が得られるため、たとえば、v3=1とおくと、s1=0に対応する固有ベクトル、

を得ることができる。((3)式は(1),(2)の組で表される)
なお、

であり、固有値、固有ベクトルの関係式

を満たすことが確認される。
※v1=v2=v3=0とすると、そもそもの固有ベクトルの定義に反する。

s2=1:

ここで、(5)式を２倍し、そこから(4)式を引くと、v1=0が決定する。
あとは、残りの式はすべて v2=v3となるので、v2=1とすると、

を得ることができる。Av=svの関係は各自確認すること。
※固有ベクトルはすべての要素が０になるものが不可であって、一つの要素が０といった場合は問題ありません。。

s2=2:

ここで、(8)式から、(7)を(1/2)したものを引くと、v2=0が決定する。あとは、残りの式はすべて v1=v3となるので、v1=1とすると、

を得ることができる。
なお、

であり、固有値、固有ベクトルの関係式

を満たすことが確認される。

モータを制御対象として、状態方程式を立て、可制御性、可観測性についてしらべます。
→詳細(PDF)

注意：講義で配布した専用用紙のみ使用可能とする。それ以外の用紙は受け付けない。欠席したものは講義、もしくは直接配布をうけること。

Ａ(1)：
まず、数式で状態変数の置き換えをします。
提示された式は、

です。状態変数はと置きますが、２本目の式のθの微分は、x2の微分ともx3ともおけます。状態方程式では、個々の式で状態変数の微分は左辺の１個のみに制限されていることから、ここではx3と置きます。

ここで、状態変数x2に対する状態方程式はありません。これは、状態方程式の講義で最初にもあった例ですが、

という式を立て、

と直します。以上を状態方程式の形式にすると、

となります。
一方、角度を観測する出力方程式は

となります。

Ａ(2)：
可制御性を確認するには、(B|AB|AAB)の行列をまず求めます。

より、

となります。一般的に、各定数は正の定数なので、０にはなりません。このままでも明らかですが、２行目、３行目を入れ替えると、３段のそれいじょうつぶせない階段ができますので、rank=3、よって、可制御です。
ちなみに、モータを電圧で操作することは、実際に良く行います。

Ａ(3)：
可観測性を確認するには、(C/CA/CAA)の行列を求めます。

です。よって、

となり、これも行を並べ替えるとrank=3、よって可観測です。
モータの制御という観点からすると、角度、角速度さえきっちり出せれば、実際には電流は直接的には関係ないように思われますが、モータや電子回路にとって電流はわりと要注意です。あまり強い電流を流すと、そこそこの時間で煙がでてくるのは予想の範囲として、一瞬でも最悪の場合はモータの磁石がダメになることがあります。
一方、可観測ではあるのですが、実際問題として、角度の計測値から角速度を得るのは容易でも、電流まで得ようとすると精度が劣化する可能性が考えられます。このような観点から、モータの性能をフルに発揮させたい場合は、電流のセンサも入れます。電流のセンサ、一番簡単なのは、直列に小さな抵抗をいれることです。Ｑ：
対象を問わず（機械、電子装置、プラント等）世の中のシステムの制御手法について１件調べ、そのシステムの概要（概略、主な特性など）と実際に使用されている制御手法について、まとめてください。
提出日：２００５年１月１１日

注意：講義で配布した専用用紙のみ使用可能とする。それ以外の用紙は受け付けない。欠席したものは講義、もしくは直接配布をうけること。