1 Mozilla/5.0 (Linux; Android 5.1.1; SGP621 Build/23.4.A.1.264) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/50.0.2661.89 Safari/537.36 /rde/contents/library/ps2img/cgi-bin/eqn2gif.cgi 157.118.205.34 1461952243 2016/04/30 02:50:43 ¥documentclass{jsarticle} ¥begin{document} $A, B$を交換するエルミート演算子、$|a,¥nu¥rangle, (¥nu=1,¥cdots,M)$を $A$の固有値$a$の固有状態とする。すなわち、 ¥begin{equation} A|a,¥nu¥rangle = a|a,¥nu¥rangle ¥end{equation} です。 この$M$個の状態を用いて$B$を行列表示します。 すなわち、$¥langle a,i|B|a,j¥rangle$を$(i,j)$成分とする行列にします。 ¥begin{equation} (¥langle a,i|B|a,j¥rangle)^¥ast = ¥langle a,j|B|a,i¥rangle ¥end{equation} なので、（当然ですが）エルミート行列です。 ¥par この行列を$¥bar{B}$とします。 エルミート行列はユニタリー行列で対角化され、その固有値は実数になります。 この事を ¥begin{equation} U^¥dag ¥bar{B} U = ¥left( ¥begin{array}{ccc} b_1&&¥¥ &¥ddots&¥¥ &&b_M ¥end{array} ¥right),¥quad U = (u_1, ¥cdots, u_M) ¥end{equation} および、 ¥begin{equation} ¥bar{B}u^{(j)} = b_j u^{(j)} ¥end{equation} と書きます。 $U$はユニタリー行列ですので、 ¥begin{equation} (u^{(i)},u^{(j)}) = ¥delta_{i,j} ¥end{equation} です。また、 ¥begin{equation} u^{(i)} = ¥left( ¥begin{array}{c} u_1^{(i)}¥¥ ¥vdots ¥¥ u_M^{(i)}¥¥ ¥end{array} ¥right) ¥end{equation} と書くことにします。式(4)を成分で書くと、 ¥begin{equation} ¥sum_{j=1}^M B_{i,j} u^{(k)}_j = b_k u_i ^{(k)} ¥end{equation} です。 ¥par ここで、 ¥begin{equation} |a,b_k ¥rangle = ¥sum_{i=1}^M u_i^{(k)} |a,i¥rangle ¥end{equation} とすれば、この式に$B$を演算させ、完全系と式(7)を使えば、 ¥begin{eqnarray} B|a,b_k ¥rangle&=& ¥sum_{i=1}^M u_i^{(k)} B|a,i¥rangle ¥nonumber ¥¥ &=& ¥sum_{i=1}^M¥sum_{j=1}^M |a,j¥rangle ¥langle a,j|B|a,i¥rangle u_i^{(k)}¥nonumber ¥¥ &=& ¥sum_{i=1}^M¥sum_{j=1}^M B_{j,i} u_i^{(k)} |a,j¥rangle ¥nonumber ¥¥ &=&¥sum_{i=1}^M b_k u_j^{(k)} |a,j¥rangle =b_k|a,b_k ¥rangle ¥end{eqnarray} となり、演算子$B$の固有状態を作る事が出来ます。 $A$の異なる固有値の状態間の$B$の行列要素がゼロになる事を使ってます。 ¥end{document} 3 変換(アンチエイリアス) [画像は表示できません] 変換 エラーがありました ! Missing } inserted. <inserted text> } l.21 $ A, B$��򴹤��륨��ߡ��ȱ黻�ҡ�$|a,��nu��rangle, (��nu=1,��cdots,M)$��% ? ! Emergency stop. <inserted text> } l.21 $ A, B$��򴹤��륨��ߡ��ȱ黻�ҡ�$|a,��nu��rangle, (��nu=1,��cdots,M)$��% 20160430_025029 http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/library/ps2img/eqn2gif_online.html Sat Apr 30 02:50:43 2016