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157.118.205.34
1500708911 2017/07/22 16:35:11
5つの数を$a,b,c,d,e$とおくと、各条件は、
\begin{eqnarray}
a<b<c<d<e \\
\frac{a+b+c+d+e}{5} &=& 60 \\
a+b+c &=& d+e \\
5a &=& e
\end{eqnarray}
と書ける。(3)を(2)に代入して、
\begin{eqnarray}
&&\frac{2(a+b+c)}{5} =\frac{2(d+e)}{5} = 60 \nonumber \\
&&\Leftrightarrow a+b+c = d+e = 150
\end{eqnarray}
を得る。また、$d<e$より、
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{c}
2d<d+e\left(=150\right)<2e \\
\Leftrightarrow d<75<e
\end{array}
\right\}
\end{equation}
さらに、(4)より、$e$は5の倍数だから、$e\geq 80$である。
いま、$e=80$の時を考えると、(4)より$a=16$、(5)より$b+c=134,d=70$。
$b<c$だから、(6)と同様にして、$b<67<c$を得る。\\
また、$c<d=70$の条件とあわせて、$(b,c)=(66,68),(65,69)$と求められ、これは(1)を満たす。 \\
したがって、
\begin{equation}
(a,b,c,d,e)=(16,66,68,70,80),(16,65,69,70,80)
\end{equation}
次に$e=80+5k (kは自然数)$の時を考えると、$e=80$の時と同様にして、$d = 70-5k \leq 65$および$b+c = 134-k$が得られ、すなわち、$b<\frac{134-k}{2}<c$が得られる。\\
ここで、$k \geq 1$に注意すると、$d=70-5k<\frac{134-k}{2}<c$が成り立つ。これは(1)の条件に反するため、$e=80+5k$つまり$e\geq 85$において、代位を満たす数の組み合わせは存在しない。
したがって、もとめる数の組み合わせは(7)で求めた数のみとなる。
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\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\Leftrightarrow
\end{eqnarray}
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\end{equation}
\begin{equation}
\end{equation}
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20170722_163507
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Sat Jul 22 16:35:11 2017