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157.118.206.41
1579947443 2020/01/25 19:17:23
\subsubsection*{問題}
$\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$を正の実数からなる数列とする。$\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty$であるとする。このとき、
$$\lim_{n \to \infty} na_n = 0 $$を示せ。
\subsubsection*{解答}
自然数$k$に対して、最初の$k$項が$a_k$で残りの項がすべて$0$であるような数列を$\{a^{(k)}_n\}_{n \in \mathbb{N}}$とおく。このとき、任意の$k, n$に対して$0 \leq a^{(k)}_n \leq a_n$が成り立つ。$\{a_n\}$は$\mathbb{N}$上の数え上げ測度に関して可積分なので、Lebesgueの優収束定理より、
$$\lim_{k \to \infty}k a_k = \lim_{k \to \infty} \left[\sum_{n=1}^\infty a^{(k)}_n\right] = \sum_{n=1}^\infty \left[ \lim_{k \to \infty}a^{(k)}_n \right]= 0$$
が成り立つ。
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\infty
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\infty
\subsubsection
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\mathbb
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\infty
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\infty
\infty
\infty
\to
\infty
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20200125_191712
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Sat Jan 25 19:17:23 2020