つかう数学

ベクトル

ベクトル：
$\vect{a}=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right), \vect{b}=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)$
標準で縦ベクトル、一般に小文字、ボールド(太文字)表記
$\vect{a}^T=(a_1,a_2,a_3), \vect{b}^T=(b_1,b_2,b_3)$
転置(T)で横ベクトル。
$|\vect{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
ベクトルの長さ(大きさ)。

用途：
ベクトルは状態変数など、状態量をあらわすのに使用。

ベクトルの加算、スカラ倍：
$\vect{a}+\vect{b}=\left(\begin{array}{c}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{array}\right)$ $k\vect{a}=\left(\begin{array}{c}ka_1\\ka_2\\ka_3\end{array}\right)$
$\vect{a}+\vect{b}=\vect{b}+\vect{a}$

ベクトルの内積：
$\vect{a}\cdot\vect{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=\sum_{i=1}^n a_ib_i$
ベクトルの内積はその平行具合いを示します。２、３次元では成す角度をθとして、
$\vect{a}\cdot\vect{b}=|\vect{a}||\vect{b}|\cos\theta$
となります。定義から、
$|\vect{a}|^2=\vect{a}\cdot\vect{a}$
であるため、状態量の大きさ評価として用いられる場合もあります。また、
$\vect{a}\cdot\vect{b}=\vect{a}^T\vect{b}$
と行列の積として書くことがあります。

行列

行列：
例)
$\vect{A}=\left(\begin{array}{rrr} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right)$ 、 $\vect{B}=\left(\begin{array}{rrr} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{array}\right)$
(２×３)

行列は数字や関数を縦ｍ行×横ｎ列の形に並べたものです。一般に大文字、ボールド表記。特にｍ＝ｎの場合、ｎ次正方行列といいます。ベクトルは行列の特殊な例(ｎ×１、１×ｍ)とも見ることができます(行列とベクトルの演算は行列同士の演算として扱える)。
各成分を個別に扱うときには $a_{ij}$ の形で第ｉ行第ｊ列を表します(小文字、非ボールド、添字)。

用途：
行列はシステムを表したり、システムを評価したり、値の重要度を重み付けしたり、この科目では非常に多用されます。使えるようにしましょう。

行列の基本演算：
行列の和は行の数および列の数が等しい行列間のみで定義できます。
$\vect{A}+\vect{B}=\left(\begin{array}{rrr} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\end{array}\right)$

スカラ倍は各要素がスカラ倍になります。
$k\vect{A}=\left(\begin{array}{rrr} ka_{11}&ka_{12}&ka_{13}\\ka_{21}&ka_{22}&ka_{23}\end{array}\right)$

行列の積：
行列の積は、行列がｌ×ｍとｍ×ｎの形と、一つ目の行と二つ目の列の数が一致するときのみ定義でき、ｌ×ｎの行列が出来ます(もちろん l=m=n という場合もあり)。
$\vect{A}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}&\cdots&a_{1m}\\ \vdots&&\vdots \\a_{l1}&\cdots&a_{lm}\end{array}\right)$
$\vect{B}=\left(\begin{array}{ccc} b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\b_{m1}&\cdots&b_{mn}\end{array}\right)$
$\vect{C}=\left(\begin{array}{ccc} c_{11}&\cdots&c_{1n}\\ \vdots&&\vdots \\c_{l1}&\cdots&c_{ln}\end{array}\right)$
$\vect{C}=\vect{A}\vect{B}, c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\cdots+a_{im}b_{mj}$
定義は上式のようになりますが、覚えるときは以下のようなイメージで覚えると分かりやすいかもしれません。
$\left(\begin{array}{ccc} ~~~&~~~&~~~\\ &c_{ij}& \\ &~~~&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} &&\\\hline \cdots&a_{ik}&\cdots\\\hline &&\end{array}\right) \left(\begin{array}{c|c|c} ~~~&\vdots&~~~\\ &b_{kj}&\\ &\vdots&\end{array}\right)$

注意：
一般に、
$\vect{AB}=\vect{BA}$ は成立しない
ことに注意。そのため、行列の乗算を行うときは、「右からかける」「左からかける」と掛け方に注意します。
例)
$\vect{A}&=&\vect{B}$ に対して
左からCをかけた $\vect{CA}=\vect{CB}$ と、右からCをかけた $\vect{AC}=\vect{BC}$ は成立しますが、
左右をごちゃまぜした $\vect{AC}=\vect{CB}$ は一般に成立しません。

行列によるベクトルの変換：
$\vect{R}=\left(\begin{array}{rrr} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\r_{21}&r_{22}&r_{23}\\r_{31}&r_{32}&r_{33}\end{array}\right)$ 、 $\vect{p}=\left(\begin{array}{r} p_1\\p_2\\p_3 \end{array}\right)$
$\vect{R}\vect{p}=\left(\begin{array}{r} r_{11}p_1+r_{12}p_2+r_{13}p_3\\r_{21}p_1+r_{22}p_2+r_{23}p_3\\r_{31}p_1+r_{32}p_2+r_{33}p_3\end{array}\right)$
たとえば、３次のベクトルに左から３×３の行列をかけると、再び３次のベクトルになります。

線形代数その２

行列の形

転置：
$\vect{A}=\left(\begin{array}{rrr} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right)$
に対して、
$\vect{A}^T=\left(\begin{array}{rr} a_{11}&a_{21}\\ a_{12}&a_{22}\\ a_{13}&a_{23}\end{array}\right)$
と行と列を入れ替えたものを転置と言い、右肩に添字Ｔをつけて表します。
("Tenchi"のTではなく、"Transpose"のT)

行列の積の転置については以下の式が成り立ちます。
$(\vect{A}\vect{B})^T=\vect{B}^T\vect{A}^T$
行列の積の転置は個々の行列の転置を逆順にして乗じたものです。

行列の分解、合成：
ｍ行ｎ列の行列Ａに対して、
$\vect{A}=(\vect{a}_1 \cdots \vect{a}_n)$
$\vect{A}=\Mso{\vect{a}_1^T}{\vdots}{\vect{a}_m^T}$
のように、縦ベクトル、横ベクトルに分割して考えることがあります。それぞれ、列ベクトル、行ベクトルといいます。
同様に、
$\vect{A}=(\vect{A}_1 ~ \vect{A}_2)~~~~~ or~~ (\vect{A}_1~| ~ \vect{A}_2)$
のように行列を並べて行列を作ったり(縦線を引く場合と引かない場合とありますが書き方が違うだけ)、
$\vect{A}=(\vect{A}_1~\vect{a}_2)$
のように、行列とベクトルをセットにして行列にすることもあります。
また、
$\vect{X}=\Mtt{\vect{A}}{\vect{B}}{\vect{C}}{\vect{D}}$
のように縦横に組むこともあります。

行列式

行列式は正方行列から以下の式で計算する数値です。大きさそのものではありませんが、いろいろと多用される数値です。

表記：
行列 $\vect{A}$ に対して、 $|\vect{A}|$

計算：
２次正方行列：
$\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$
３次正方行列：
$\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=\begin{array}{l}a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{13}a_{21}a_{32}+ a_{12}a_{23}a_{31} \\ -a_{13}a_{22}a_{31}- a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33} \end{array}$

行列式には以下の性質があります。

$\left|\begin{array}{rrr}\\ka_{i1}&\cdots&ka_{in}\\~\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{rrr}\\a_{i1}&\cdots&a_{in}\\~\end{array}\right|$
ある行の要素すべてに共通の因子がある場合、それをくくりだせる。
$\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\hline b_{i1}+c_{i1} & \cdots & b_{in}+c_{in} \\\hline a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\hline b_{i1} & \cdots & b_{in} \\\hline a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\hline c_{i1} & \cdots & c_{in} \\\hline a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|$
※ただし、３つの行列でｉ行以外は共通。
ある行に注目して、二つの行列式の和に分解できる。
二つの行を交換すると、行列式の値は×(-1)。
二つの行が等しい行列の行列式は０。
ある行に、任意の定数をかけて、他の行に加えても、行列式の値はかわらない。
$|\vect{A}|=|\vect{A}^T|$
$\vect{C}=\vect{A}\vect{B}$ なら $|\vect{C}|=|\vect{A}||\vect{B}|$ 。

以上のルールは列に対しても成立。

行列式と余因子

ｎ次の正方行列Ａ
$\Mss{a_{11}}{\cdots}{a_{1n}}{\vdots}{}{\vdots}{a_{n1}}{\cdots}{a_{nn}}$
から、ｉ行とｊ列を抜きます。
$\bar{\vect{A}}_{ij}=\left(\begin{array}{ccc||ccc}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\hline\hline a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n,1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{n,n}\end{array}\right)$
これに対して、行列式を求めて、符合をつけた
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}|\bar{\vect{A}}_{ij}|$
を $a_{ij}$ に対する余因子といいます。

この余因子を使うと、より高次の行列式を計算できます。
$|\vect{A}|&=&a_{i1}\alpha_{i1}+a_{i2}\alpha_{i2}+\cdots+a_{in}\alpha_{in}\nonumber\\&=&a_{1j}\alpha_{1j}+a_{2j}\alpha_{2j}+\cdots+a_{nj}\alpha_{nj}$

逆行列

ｎ次正方行列Ａに対して、
$\vect{AX}=\vect{XA}=\vect{I}, \vect{I}=\left(\begin{array}{rrrr}1&0&&\cdots \\ 0& 1 & 0 & \cdots \\ \vdots &0 &\ddots&\\ &\vdots& & 1 \end{array}\right)$
(行列Ｉは対角成分のみ1で残りは0のｎ次正方行列、単位行列、Ｅと表記することも多い)
となるようなｎ次正方行列Ｘを、Ａの逆行列といい、 $\vect{A}^{-1}$ と右肩に"-1"をつけて表します。逆行列は必ず存在するとはかぎりません(行列式が０でない場合に存在)。

計算：
$\vect{A}^{-1}=\frac{1}{|\vect{A}|}\Mss{\alpha_{11}}{\cdots}{\alpha_{1n}}{\vdots}{}{\vdots}{\alpha_{n1}}{\cdots}{\alpha_{nn}}^T$
で求めます。全要素に対する余因子を計算して、ならべて行列にして、転置して、行列式で割る、です。

性質：
$\vect{A}\vect{A}^{-1}=\vect{A}^{-1}\vect{A}=\vect{I}$
$(\vect{A}\vect{B})^{-1}=\vect{B}^{-1}\vect{A}^{-1}$
「積の逆行列」は個々の行列の逆行列の逆順の積」になります。(c.f.転置)

逆行列は、「行列の逆数」「行列分の１」的な扱いが可能であるため、今後の制御理論の式変形などで多用されます。

線形代数その３：RANK、固有値

階数(rank)

行列の各行、各列が互いにどのくらい独立しているかを表す数値として階数(rank)という数値があります。現代制御理論では、「可制御」「可観測」という、制御できるか、状態を把握できるかを分析するときに使用します。

階数を求めるには、以下の基本変形を行います。

ある行(列)に０ではないスカラをかける
ある行(列)に他の行(列)のスカラ倍を加える
※行に対しては行、列に対しては列
二つの行(列)を交換する

この操作を繰り返すことによって、
$\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}\cdots\\\cline{1-1} \multicolumn{1}{c|}{} & a_{2j_2} \cdots \\\cline{2-2} & \multicolumn{1}{c|}{} & a_{3j_3} \cdots \\\cline{3-3} 0&&\multicolumn{1}{c|}{}&\vdots\end{array}\right)$
という階段状に変形できます。このとき、
$\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}\cdots\\\cline{1-1} \multicolumn{1}{c|}{} & ~~~~~~ \\\cline{2-2} & \multicolumn{1}{c|}{} & ~~~~~~ \\\cline{3-3} &&\multicolumn{1}{c|}{}&a_{rj_r}~~~~~~\\\cline{4-4}0\end{array}\right)$
のように、ｒ行までで止まって、ｒ＋１行以降が０になったとき、このｒを階数、rank といいます。もちろん、０の行が現れなければ、行列の行数がrankになります。

固有値、固有ベクトル

ベクトル x を行列 A で変換するとき、
　　 $\vect{A}\vect{x}=\lambda\vect{x}$
　　（行列 A にかけても、λ倍になるだけ＝方向変わらず）
を満たす、０ではない x を固有ベクトル、λを固有値といいます。

定義より、
$\vect{A}\vect{x}=\lambda\vect{x}=\lambda\vect{I}\vect{x}\nonumber\\ (\lambda\vect{I}-\vect{A})\vect{x}=\vect{0}$
が成り立ちます。ここで x が０以外の値をとるためには、
$|\lambda\vect{I}-\vect{A}|=0$
となる必要があります。
※この行列式が０でなければ逆行列が存在し、
※ $\vect{x}=(\lambda\vect{I}-\vect{A})^{-1}\vect{0}=\vect{0}$
※となってしまうため。

この方程式、
　　 $|\lambda\vect{I}-\vect{A}|=0$
を特性方程式と呼びます。なお、
$\vect{Ax}=\lambda\vect{x}$
ならば、
$\vect{A}(2\vect{x})=\lambda(2\vect{x})$
も成立します。固有ベクトルの大きさは定まらず、各要素の比率(ベクトルの方向)のみ定まります。また、特性方程式はλのｎ次方程式になるため、重解がなければ固有値、固有ベクトルはｎ組あります。重解の場合、対応する固有ベクトルはｎ本得られることもありますが、足りなくなる場合もあります。

行列の対角化

固有値λ1…λnに対応する、固有ベクトルをｖ1…ｖnとします(重解の時はｎ本求まった場合)。ここで、このベクトルを並べてできる行列
$\vect{T}=[\vect{v}_1~~\vect{v}_2~\cdots~\vect{v}_n]$
を考えます。
$\vect{AT}&=&\vect{A}[\vect{v}_1~\cdots~\vect{v}_n]\nonumber\\&=&[\vect{Av}_1~\cdots~\vect{Av}_n]\nonumber\\&=&[\lambda_1\vect{v}_1~\cdots~\lambda_n\vect{v}_n]\nonumber\\&=&[\vect{v}_1~\cdots~\vect{v}_n]\Mss{\lambda_1}{}{0}{}{\ddots}{}{0}{}{\lambda_n}\nonumber\\&=&\vect{T}\Mss{\lambda_1}{}{0}{}{\ddots}{}{0}{}{\lambda_n}$
左からＴの逆行列をかけて、
$\vect{T}^{-1}\vect{AT}=\vect{T}^{-1}\vect{T}\Mss{\lambda_1}{}{0}{}{\ddots}{}{0}{}{\lambda_n}=\Mss{\lambda_1}{}{0}{}{\ddots}{}{0}{}{\lambda_n}$
を得ます。つまり、固有ベクトルを並べて作った行列とその逆行列で、行列をサンドイッチすると、対角線上に固有値が並んだ対角行列を得ることができます。

補足：
$&&[\vect{v}_1~\cdots~\vect{v}_n]\Mss{\lambda_1}{}{0}{}{\ddots}{}{0}{}{\lambda_n}\nonumber\\&=&[\vect{v}_1\lambda_1+\vect{v}_2\cdot0+\cdots\vect{v}_n\cdot0,~~~\vect{v}_1\cdot0+\vect{v}_2\lambda_2+\cdots\vect{v}_n\cdot0,\nonumber\\&&~~~~~ \vect{v}_1\cdot0+\vect{v}_2\cdot0+\cdots\vect{v}_n\lambda_n]\nonumber\\&=&[\vect{v}_1\lambda_1~~\vect{v}_2\lambda_2~\cdots~\vect{v}_n\lambda_n]$

計算例

基本演算

$\left(\begin{array}{rrr}2&-3&1\\-1&5&-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrr}-1&0&4\\3&-2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&5\\2&3&-5\end{array}\right)$

$3\left(\begin{array}{rrr}2&-3&1\\-1&5&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}6&-9&3\\-3&15&-6\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\0&1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}2&0\\1&3\\-1&-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rr}2&0\\1&3\\-1&-2\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\0&1&1\end{array}\right) = \Mss{2}{4}{6}{1}{5}{6}{-1}{-4}{-5}$

$\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\-3&5&-2\end{array}\right)^T=\left(\begin{array}{rr}2&-3\\1&-5\\3&-2\end{array}\right)$

行列式

$\left|\begin{array}{rrrr}1&2&0&-1\\ 2&-3&1&2\\ 0&6&2&1\\ 3&0&1&-3\end{array}\right|$
１行目を(1,0,0,0)にする。
※２列目＝２列目−１列目×２、４行目＝４行目＋１行目
$=\left|\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\ 2&-7&1&4\\ 0&6&2&1\\ 3&-6&1&0\end{array}\right|$
１行目で余因子展開。
$&=&(-1)^{1+1}\cdot 1 \cdot \left|\begin{array}{rrr}-7&1&4\\6&2&1\\-6&1&0\end{array}\right| + (-1)^{1+2}\cdot 0 \cdot \left|\begin{array}{rrr}2&1&4\\0&2&1\\3&1&0\end{array}\right| + \cdots\nonumber\\&=&\left|\begin{array}{rrr}-7&1&4\\6&2&1\\-6&1&0\end{array}\right|$
３行目を(0,1,0)にする。
※１列目＝１列目＋２列目×６
$=\left|\begin{array}{rrr}-1&1&4\\18&2&1\\0&1&0\end{array}\right|$
３行目で余因子展開。
$=(-1)^{3+1}\cdot 0 \cdot \left|\begin{array}{rr}1&4\\2&1\end{array}\right| + (-1)^{3+2}\cdot 1 \cdot \left|\begin{array}{rr}-1&4\\18&1\end{array}\right| + (-1)^{3+3}\cdot 0 \cdot \left|\begin{array}{rr}-1&1\\18&2\end{array}\right|$
$&=&(-1)\left|\begin{array}{rr}-1&4\\18&1\end{array}\right|\nonumber\\&=&(-1)(-1-72)=73$

逆行列

$\vect{A}=\Mss{0}{1}{-1}{-1}{1}{0}{2}{1}{0}$
行列式：
$|\vect{A}|=0+0+1-0-0-(-2)=3$
余因子行列：
$\Mss{+\left|\begin{array}{rr}1&0\\1&0\end{array}\right|}{-\left|\begin{array}{rr}-1&0\\2&0\end{array}\right|}{+\left|\begin{array}{rr}-1&1\\2&1\end{array}\right|}{-\left|\begin{array}{rr}1&-1\\1&0\end{array}\right|}{+\left|\begin{array}{rr}0&-1\\2&0\end{array}\right|}{-\left|\begin{array}{rr}0&1\\2&1\end{array}\right|}{+\left|\begin{array}{rr}1&-1\\1&0\end{array}\right|}{-\left|\begin{array}{rr}0&-1\\-1&0\end{array}\right|}{+\left|\begin{array}{rr}0&1\\-1&1\end{array}\right|}=\Mss{0}{0}{-3}{-1}{2}{2}{1}{1}{1}$
よって、逆行列は
$\vect{A}^{-1}=\frac{1}{3}\Mss{0}{-1}{1}{0}{2}{1}{-3}{2}{1}$
となる。

検算：
$\vect{A}\vect{A}^{-1}=\frac13\Mss{0}{1}{-1}{-1}{1}{0}{2}{1}{0}\Mss{0}{-1}{1}{0}{2}{1}{-3}{2}{1}=\frac13\Mss300030003$
$\vect{A}^{-1}\vect{A}=\frac13\Mss{0}{-1}{1}{0}{2}{1}{-3}{2}{1}\Mss{0}{1}{-1}{-1}{1}{0}{2}{1}{0}=\frac13\Mss300030003$

ちなみに：
$|\vect{A}^{-1}|&=&\left|\begin{array}{rrr}0&-1/3&1/3\\0&2/3&1/3\\-3/3&2/3&1/3\end{array}\right| \nonumber\\ &=&\left(\frac13\right)^3 \left|\begin{array}{rrr}0&-1&1\\0&2&1\\-3&2&1\end{array}\right|=\left(\frac13\right)^3 (3-(-6))=9/27=1/3$
注意：
$|\vect{A}^{-1}|=\frac13\left|\begin{array}{rrr}0&-1&1\\0&2&1\\-3&2&1\end{array}\right|$
ではない(すごく間違いそうな例)。

階数 rank

$\Mss121351001$ のrankを求めてみる。
２行目に１行目の（−３）倍を加える
$\Mss1210{-1}{-2}001$
これ以上操作できず、３行目まで数値があるので、rank=3。

$\Mss001110006$ のrankを求めてみる。
１行目と２行目を入れ替える。
$\Mss110001006$
３行目に２行目の（−６）倍を加える。
$\Mss110001000$
これ以上操作できず、２行目まで数値があるので、rank=2。

固有値、固有ベクトル

$\Mss{1}{-2}{2}{-1}{1}{1}{-1}{-2}{4}$ の固有値を求めてみる。
特性方程式は
$|s\vect{I}-\vect{A}|=0$ (λのかわりにsを使用)
$\left|\begin{array}{rrr}s-1&2&-2\\1&s-1&-1\\1&2&s-4\end{array}\right|=0$
$&&(s-1)(s-1)(s-4)+(-2)+(-4)\nonumber\\&&~~~~-(-2)(s-1)-(-2)(s-1)-2(s-4)=0$
$&&(s-1)(s-1)(s-4)+2s-2\nonumber\\&=&(s-1)(s-1)(s-4)+2(s-1)\nonumber\\&=&(s-1)(s^2-5s+4+2)\nonumber\\&=&(s-1)(s-2)(s-3)=0$
よって、固有値はs=1,2,3である。

それぞれに対応する固有ベクトルを求める。
$(s\vect{I}-\vect{A})\vect{v}=\vect{0}$
s=1:
$\Mss{0}{2}{-2}{1}{0}{-1}{1}{2}{-3}\Mso{v_1}{v_2}{v_3}=\Mso000$
$2v_2-2v_3&=&0\nonumber\\v_1-v_3&=&0\nonumber\\v_1+2v_2-3v_3&=&0$
よって、v1=v2=v3である。たとえば、v1=1として、
$\vect{v}_1=\Mso111$
となる。

s=2:
$\Mss{1}{2}{-2}{1}{1}{-1}{1}{2}{-2}\Mso{v_1}{v_2}{v_3}=\Mso000$
$v_1+2v_2-2v_3&=&0\nonumber\\v_1+v_2-v_3&=&0$
第２式の２倍から第１式を引くと、v1=0が確定, あとはv2=v3であるため、たとえばv2=1として、
$\vect{v}_2=\Mso011$
を得る。

s=3:
$\Mss{2}{2}{-2}{1}{2}{-1}{1}{2}{-1}\Mso{v_1}{v_2}{v_3}=\Mso000$
$2v_1+2v_2-2v_3&=&0\nonumber\\v_1+2v_2-v_3&=&0$
第２式の２倍から第１式を引くと、v2=0が確定。あとはv1=v3であるため、たとえばv1=1として、
$\vect{v}_3=\Mso101$
を得る。

つかう数学

心　得

線形代数その１

ベクトル

行列

線形代数その２

行列の形

行列式

行列式と余因子

逆行列

線形代数その３：RANK、固有値

階数(rank)

固有値、固有ベクトル

行列の対角化

計算例

基本演算

行列式

逆行列

階数 rank

固有値、固有ベクトル

つかう数学

心 得

線形代数その１

ベクトル

行列

線形代数その２

行列の形

行列式

行列式と余因子

逆行列

線形代数その３：RANK、固有値

階数(rank)

固有値、固有ベクトル

行列の対角化

計算例

基本演算

行列式

逆行列

階数 rank

固有値、固有ベクトル

心　得