非線形制御の基礎

ここでは非線型な対象を扱う方法を考えます。

古典制御、これまで扱った現代制御理論とも、対象は線形です。線形というのはたとえば

f(a+b)=f(a)+f(b)
f(ca)=cf(a) (cは定数)

などの性質を持つ物です。単純な対象は線形なことも多いのですが、実際に制御対象にしたいものは非線形なことが一般的です。運動方程式に三角関数が入ったらそれでもう非線形なので、たとえば、回転関節をもつロボットなどは非線形な対象の例です。

非線形がからむ制御としては、

制御対象が非線形
- 連続な非線形の式で表される（リンク機構、重力など）
- 不連続な式で表される（摩擦など）
制御手法が非線形
- 連続非線型な制御則（ニューラルネットなども含む）
- 不連続な制御（ON/OFF制御＜こたつなど）

などに分類できます。

これらに対する一般的な対処法としては、

線形化:　
非線型なものも、部分的に見れば線形に近似できる。
記述関数法:　
対象となるシステムに正弦波を入れ、その出力から擬似的に伝達関数化して解析、制御。
位相面解析:　
２次系(x, dx/dt, d2x/dt2)のシステムで、(x, dx/dt)の挙動をグラフ上で解析。
非線形には非線形で:　非線型な要素を、非線型な入力でキャンセルして、線形にするor線形に近づける。

などがあります。

線形化

右の図に示すような、タンクの液面の高さの制御をすることを考えます。

タンクの液面の変動は、流れ出す水量によって決まりますが、この流れ出す水量が高さと非線型な関係を持ちます（直感的に考えて、深いほうが流量は多くなる）。
タンク断面積：A
パイプ断面積：B
水面高さ：h
流速：v
時間流量：q

水位と流量まず、対象の方程式を立てます。
右図のように、時間dtの間に、質量dMの水が流れ出したとします。この時、エネルギー保存の法則を考えると、

が成り立ちます。解くと
$v^2=2gh,~~~ v=\sqrt{2gh}$
となります。

時間dtで流れ出す水量は、
$dV=-qdt=-Bvdt=-B\sqrt{2gh}dt$
であり、それよって液面が変化します。

これらより、
$dh=-\frac{B}{A}\sqrt{2gh}dt\nonumber\\\frac{dh}{dt}=-\frac{B}{A}\sqrt{2gh}$
という方程式が成り立ちます。これがシステムの微分方程式になりますが、非線形要素である平方根が入っています。

水位と流量これをある高さh0近辺で液面を一定に保つような制御を行う場合、その近辺に限ってみれば、あまり極端な変化はありません。そこで、h0近辺で１次式で近似してみます。
まず、平方根部分だけを考えて、 $f(h)=\sqrt{2gh}$
とすると、
$\frac{df}{dh}=\sqrt{2g}\frac{1}{2\sqrt{h}}=\sqrt{\frac{g}{2h}}$
なので、
接点： $(h_0,\sqrt{2gh_0})$
傾き： $\sqrt{\frac{g}{2h_0}}$
よって、
$\sqrt{2gh}\simeq\sqrt{2gh_0}+\sqrt{\frac{g}{2h_0}}(h-h_0)$
と、近似できます。
以上より、もとの微分方程式は、
$\frac{dh}{dt}\simeq-\frac{B}{A}\left(\sqrt{2gh_0}+\sqrt{\frac{g}{2h_0}}(h-h_0)\right)$
と近似することができます。これは、hに関しての線形な微分方程式なので、これまでの方法で制御することができます。

以上のように、非線型なシステムでも、関心を持つところを限れば、線形とみなすことができます。

狭い範囲では十分によく使えることが多い
広い範囲の場合には、数区間に区分するなどして線形化
単調ではないシステムでは注意が必要（単調増加、単調減少ではないもの）

という特徴を持ちます。

重力補償

地球上で動作するものはすべからく重力の影響を受けます。動作がすべて平面内で完結する場合は、構造的には重力に耐える必要があっても、制御上は重力の影響をほぼ考える必要はありません。しかし、ロボットの動作が垂直方向の成分も持つとき、重力の影響は馬鹿にならなくなります。
そこで、ここでは、重力の影響を考えてみます。

制御対象のモデル

１自由度アーム右図に示すような、ごく単純なアーム状のものを考えます。根本を回転ジョイントで支えられ、鉛直面内で傾きを制御するような対象です。
各パラメータは
質量ｍ、回転軸回りの慣性モーメントＩ、回転軸〜重心距離ｌ
重力加速度ｇ、傾き角θ、駆動トルクＴ
とします。
この対象に作用するトルクは、根本をモータなどで駆動するトルクＴと、重力により傾けようとする力mgsinθにその"腕の長さ"をかけた、mglsinθとなるため、運動方程式は、
$I\ddot{\theta}=T+mgl\sin\theta$
となります。特別なケースについて考えると、
$\left\{\begin{array}{ll}I\ddot{\theta}=T&(\theta=0)\\I\ddot{\theta}=T+mgl&(\theta=\pi/2)\end{array}\right.$
(真上／真横)
となります。明らかに、腕の傾きで異なる運動方程式となっています。

ＰＤ制御を適用する

この対象をＰＤ制御(比例微分制御)してみます。
操作量：
$T=K_Pe+K_D\dot{e},~~~e=\theta_r-\theta$ (θr：目標角度)
これを運動方程式に代入すると、
$I\ddot{\theta}=K_Pe+K_D\dot{e}+mgl\sin\theta$
となります。
制御が落ち着いて整定(静定)した状態では、d2e/dt2=0, de/dt=0となるので、
$0=K_Pe+mgl\sin\theta$
となります。

（１）目標角度θr＝０、θ≒０の場合（ほぼ上向き）
$0=-K_P\theta+mgl\theta,~~~(\sin\theta\sim\theta)$
となるため、
$(K_P-mgl)\theta=0$
よって、θ＝０となります。（目的通りに制御できる）

（２）目標角度θr＝π/2、θ≒π/2の場合（ほぼ真横）
$0=K_P(\pi/2-\theta)+mgl,~~~(\sin\theta\sim 1)$
となるため、
$\theta=\pi/2+\frac{1}{K_P}mgl$
となります。π/2は目標角度なので問題ないとして、mgl/KPが余分についてきて、静止状態で誤差が残ります。これを定常偏差と呼びます。数式上はKPを大きくするほど減少しますが、実際にはKPを大きくしすぎると制御が不安定化するため、限度があります。

つまり、ＰＤ制御では狙い通りには制御できません。

※定常状態では無視されるのにＤ制御を敢えて加えていますが、これは実際に本物を制御するときにＤが不可欠なためです。Ｄがないと落ち着かず、発振状態に理論上はなります（摩擦などで適当に落ち着くこともありますが）。

ＰＩＤ制御を適用する

さて、次にＰＩＤ制御（比例積分微分制御）を適用してみます。
操作量：
$T=K_Pe+K_D\dot{e}+K_I\int edt,~~~e=\theta_r-\theta$ (θr：目標角度)
これを運動方程式に代入すると、
$I\ddot{\theta}=K_Pe+K_D\dot{e}+K_I\int edt+mgl\sin\theta$
となります。
一般に、Ｉ制御をいれると、定常偏差が打ち消されます。これは、誤差がある限り積分されて、積分部分が定常偏差を打ち消すように、すなわち、上の(2)の例では、
$K_I\int edt=-mgl$
となって、
$0=K_P(\pi/2-\theta)+(-mgl)+mgl$
で落ち着くためです。
ところが、PID制御の場合は過渡応答(目標変化)時に影響が出ます。

例：θr＝π/2→０に急に変化した場合
(1)まず、θr＝π/2で誤差０に整定
$K_Pe+K_D\dot{e}+K_I\int edt+mgl=K_I\int edt+mgl=0$
十分時間が経過した整定時には、
$K_I\int edt=-mgl$
となっています。
(2)目標がθr＝０に変化
積分値が変化するよりも十分早く動きが落ち着いたとすると、そのとき、
$K_Pe+K_D\dot{e}+K_I\int edt+mgl\theta=K_P(-\theta)+K_I\int edt+mgl\theta=0$
よって、
$\theta=-\frac{1}{K_P-mgl}K_I\int edt\sim-\frac{1}{K_P-mgl}mgl$
となります。
誤差の積分まで完了すると、積分値がゼロとなって最終的にはθ＝０となりますが、一時的にずれたところで落ち着くことになります。

重力補償を適用する

そこで、操作量に非線型な要素を加えます。
$T=K_Pe+K_D\dot{e}+(-mgl\sin\theta)$
これを運動方程式に代入すると、
$I\ddot{\theta}=K_Pe+K_D\dot{e}+(-mgl\sin\theta)+mgl\sin\theta=K_Pe+K_D\dot{e}$
となり、いままでトラブルの元だった重力の成分が消えてなくなります。正確には、キャンセルできるように操作量を計算するわけです。こうなれば、ＰＤ制御のみで十分対処可能となります。

重力補償はこのように、腕状のものに非常に効果的に働きます。計算は、ロボットの姿勢のみですむため、それほどやっかいでもありません。もちろん、対象のモデルがわかっていることが前提ですが、多少ずれても致命的なことにはならず、多少Ｉを加えておくと残った誤差も消すことができます（全部Ｉでやるのにくらべて、上述の問題はおきにくくなる）。

なお、実際にこのようなメカをつくると、モータに対する負荷が大きくなり、結果的にモータが大きくなって、さらに質量が増えて、、、と悪循環が生じます。そこで、今回のような制御の上での重力補償に加えて、バネを含む機構を加えて多くをキャンセルする目的の、重力補償機構というものも存在します。

摩擦補償

実際にものを作ると対処しなければならないややこしいものに、摩擦があります。

たとえば、右図のようなバネマス系の場合、摩擦がなければ、
$m\ddot{x}=-kx$
と単純な式になりますが、動摩擦があるとすると、
$\left\{\begin{array}{ll}m\ddot{x}=-kx-\mu mg&\dot{x}>0\\m\ddot{x}=-kx+\mu mg&\dot{x}<0\end{array}\right.$
というように、運動方向に応じて摩擦力のかかり方はかわります。また、止まった場合には静止摩擦も考慮する必要があります。

摩擦のある物体運動右図に示すような、摩擦があるところの物体の制御の仕方を検討します。
運動方程式は
$\left\{\begin{array}{ll}m\ddot{x}=f-F&\dot{x}>0~~or~~\dot{x}=0\rightarrow >0\\m\ddot{x}=f+F&\dot{x}<0~~or~~\dot{x}=0\rightarrow <0\end{array}\right.$
となります。ここで、fは物体の運動のために作用させる力、Fは摩擦力です。後ろの条件で、前者は運動中、後者は静止から運動開始、つまり止まっているものを動かそうという静摩擦への対応です。ちなみに、止まっている場合には、上式でf-F≧0、下式でf+F≦0です（摩擦力で走り出すことはない）。
おおざっぱに図示すると、右図のようになります。力をかけても加速せず、ある程度力をかけると、摩擦力を振り切るのに十分になって加速を開始する、という感じです。このように、操作しても結果が出ない部分を不感帯といいます。
この対象の制御を考えます。

（１）ＰＩＤ制御
積分項によって、目標に達する前に停止すると、誤差積分値が蓄積するため、いつかは静止摩擦力を振り切って動き出します。しかし、一般に静止摩擦力よりも動摩擦力が小さいため、一旦動き出すと、目標を通りすぎてからＰ制御によって停止し、また同じことを繰り返します。そのため、なかなか目標地点に到達しません。

（２）摩擦補償
運動状況をもとに、
$\left\{\begin{array}{l}f'=f+F\\f'=f-F\end{array}\right.$
を操作量とします。つまり、摩擦で目減りする分をあらかじめ加えておきます。
理論的に正確に摩擦をモデル化することは困難ですが、実際にシステムを組んだ状態で測定した値を加えてやるだけでも、動作は劇的に改善する場合があります。
※測定法：ＰＩ制御にしておいて動き出す瞬間の操作量を測定する、手動で操作量を調整して動き出すところを調べる、など

摩擦補償は、重力補償に比べるとぴたりとはまることはあまりありません。ただ、重力の場合にはあくまで連続的なのに対して、摩擦は不連続でもあるため、経験上、いやなトラブルが多くありました。そのときに、おおざっぱに上式のような補償を加えてやると、それだけで改善が見られました。