プチテスト・レポート

最終更新： 2011/02/10 19:32:16 ［｜　］　最終更新： 2011/02/10 19:32:16

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このページは講義に関連して実施した、プチテスト、レポートの解答例です。講義で解けなかったときや、あとでやりかたを忘れてしまったときなどに見てください。なお、解答作成には万全の注意を払っていますが、間違いを見つけた場合には至急連絡をお願いします。

プチテスト

9/13　ぷち０：力試し

Ｑ１：
下記の行列の積をもとめよ
$\Mss123456789 \Mss101010001$

Ｑ２：
下記の行列の固有値を求めよ
$\Mss1{-2}2{-1}11{-1}{-2}4$

Ａ１：
$&&\Mss123456789 \Mss101010001\nonumber\\&=&\Mss{1\times1+2\times0+3\times0}{1\times0+2\times1+3\times0}{1\times1+2\times0+3\times1}{4\times1+5\times0+6\times0}{4\times0+5\times1+6\times0}{4\times1+5\times0+6\times1}{7\times1+8\times0+9\times0}{7\times0+8\times1+9\times0}{7\times1+8\times0+9\times1}\nonumber\\&=&\Mss12445{10}78{16}$

Ａ２：
つかう数学：計算例の一番下で解説すみ。

10/12　ぷち１：固有値固有ベクトル

Ｑ：
$\vect{A}=\Mss{-2}{2}{-2}{2}{-2}{-2}{-2}{2}{-2}$
の固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。

まず、固有値を求める。
$&&|s\vect{I}-\vect{A}|\nonumber\\ &=&\left|\begin{array}{rrr}s+2&-2&2\\-2&s+2&2\\2&-2&s+2\end{array}\right|\nonumber\\ &=& (s+2)^3-8+8-\{-4(s+2)+4(s+2)+4(s+2)\} \nonumber\\&=&(s+2)^3-4(s+2)\nonumber\\&=&(s+2)(s^2+4s+4-4)\nonumber\\&=&(s+2)s(s+4)=0$
よって、固有値は0,-2,-4である。

次に、個々の固有値に対応する固有ベクトルを求める。
$(s\vect{I}-\vect{A})\vect{v}=\vect{0}$
s1=0:
$(s\vect{I}-\vect{A})\vect{v}=\Mss{2}{-2}{2}{-2}{2}{2}{2}{-2}{2}\Mso{v_1}{v_2}{v_3}=\Mso000$
よって、
$\left\{\begin{array}{rrrr} 2v_1& -2v_2 & +2v_3 &=0~~\cdots(1)\\ -2v_1 & +2v_2& +2v_3 &=0~~\cdots(2)\\ 2v_1& -2v_2 & +2v_3 &=0~~\cdots(3)\end{array}\right.$
となる。(1)と(3)は同一式、また、(1)＋(2)式により、v3=0が得られ、(1)にもどすとv1=v2となる。よって、たとえばv1=1とおくと、s1=0に対応する固有ベクトル、
$\vect{v}_1=\Mso110$
を得ることができる。なお、
$\vect{Av}_1=\Mss{-2}{2}{-2}{2}{-2}{-2}{-2}{2}{-2}\Mso110=\Mso000=0\cdot\Mso110=s_1\vect{v}_1$
であり、固有値、固有ベクトルの関係式
$\vect{Av}_i=s_i\vect{v}_i$
を満たすことが確認される。
※v1=v2=v3=0とすると、そもそもの固有ベクトルの定義に反することに注意。
※固有ベクトルはすべての要素が０になるものが不可であって、一つの要素が０といった場合は問題ありません。。

s2=-2:
$(s\vect{I}-\vect{A})\vect{v}=\Mss{0}{-2}{2}{-2}{0}{2}{2}{-2}{0}\Mso{v_1}{v_2}{v_3}=\Mso000$
$\left\{\begin{array}{rrrr} & -2v_2 & +2v_3 &=0~~\cdots(4)\\ -2v_1 & & +2v_3 &=0~~\cdots(5)\\ 2v_1& -2v_2 & &=0~~\cdots(6)\end{array}\right.$
(4)よりv2=v3、(5)よりv1=v3、ついでに(6)よりv1=v2である。よってたとえばv1=1とおくと、
$\vect{v}_2=\Mso111$
を得ることができる。Av=svの関係は各自確認すること。

s3=-4:
$(s\vect{I}-\vect{A})\vect{v}=\Mss{-2}{-2}{2}{-2}{-2}{2}{2}{-2}{-2}\Mso{v_1}{v_2}{v_3}=\Mso000$
$\left\{\begin{array}{rrrr} -2v_1& -2v_2 & +2v_3 &=0~~\cdots(7)\\ -2v_1 & -2v_2& +2v_3 &=0~~\cdots(8)\\ 2v_1& -2v_2 & -2v_3 &=0~~\cdots(9)\end{array}\right.$
(7)式と(8)式は同一、(8)式＋(9)式により、v2=0が決定する。(8)式にもどすと、v1=v3であり、v1=1とすると、
$\vect{v}_3=\Mso101$
を得ることができる。Av=svの関係は各自確認すること。