プチテスト＆レポート 2004

第１回(04/05/10) 回転×回転＝角度＋角度

Ｑ：
Ｒ＝"30度回転"のとき、Ｒ²が"60度回転"になることを確認せよ。

Ａ：
30度＝π/6、60度＝π/3
$\vect{R}=\Mtt{\cos \pi/6}{-\sin \pi/6}{\sin \pi/6}{\cos \pi/6}=\Mtt{\sqrt3/2}{-1/2}{1/2}{\sqrt3/2}$
$\vect{R}^2~&=&\Mtt{\sqrt3/2}{-1/2}{1/2}{\sqrt3/2}\Mtt{\sqrt3/2}{-1/2}{1/2}{\sqrt3/2}\nonumber\\&=&\Mtt{1/2}{-\sqrt3/2}{\sqrt3/2}{1/2}$
$\Mtt{\cos \pi/3}{-\sin \pi/3}{\sin \pi/3}{\cos \pi/3}=\Mtt{1/2}{-\sqrt3/2}{\sqrt3/2}{1/2}=\vect{R}^2$
よって、60度回転となる。

第２回(04/05/17) 空間回転の順番

Ｑ：
Ｘ軸周りに４５度回転させる行列RxとＺ軸周りに９０度回転させる行列Rzに対して、RxRzおよびRzRxを計算し、回転に順序が重要であることを確認せよ。

Ａ１：
$\vect{R}_x=\Mss{~1}{0}{0}{0}{\cos(\pi/4)}{-\sin(\pi/4)}{0}{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)}=\Mss{1}{0}{0}{0}{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}{0}{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}$
$\vect{R}_z=\Mss{\cos(\pi/2)}{-\sin(\pi/2)}{~~~~0}{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)}{0}{0}{0}{1}=\Mss{0}{-1}{0}{1}{0}{0}{0}{0}{1}$
より
$\vect{R}_x\vect{R}_z&=&\Mss{1}{0}{0}{0}{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}{0}{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\Mss{0}{-1}{0}{1}{0}{0}{0}{0}{1}\nonumber\\&=&\Mss{0}{-1}{0}{1/\sqrt{2}}{0}{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}{0}{1/\sqrt{2}}$
$\vect{R}_z\vect{R}_x&=&\Mss{0}{-1}{0}{1}{0}{0}{0}{0}{1}\Mss{1}{0}{0}{0}{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}{0}{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\nonumber\\&=&\Mss{0}{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}{1}{0}{0}{0}{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}$
よって異なる。

補足：
当然、条件によってはRxRz=RzRxもあり得ますが、「必ず成立するわけではない等式」は等式ではないものとして扱いましょう。 (Rx,Rzが単位行列以外はたぶん成り立ちません＜直感)
cf.行列の積

第３回(04/05/24) 秘密の問題

算数と感想。

第４回(04/05/31) 作画の問題

Ｑ：

凹
｜
○
｜
○
｜
○
｜
◇
｜
￣

なる構造のロボットを立体的な絵(イラスト)で書いてみよ。また、できる作業を考えて例示せよ。

Ａ：
土木工事のショベルカーなどはこの一例。根本の関節で旋回、つぎの２関節で手先位置、最後の１関節でバケット角度など。
実際にあった解答例：
溶接、物体搬送、コップをつかんで水を飲める(?)、高所からの人間の救助装置、ふき掃除、建物破壊
絶叫マシン、先からビームが出る、脳天チョップ、腕相撲マシン
おもに
・360度旋回できること
・手先の位置と方向(手先を平行/水平なまま動かせる)が指定できる
ことが重視されているようです。

第５回(04/05/17) ３自由度マニピュレータを直接計算

Ｑ：
講義で題材とした３自由度マニピュレータについて、行列などを使わずに直接手先座標を求めてみる。

Ａ：
まず、安直に

です。
次に水平面の座標(x,y)を考えます。第２関節(肘相当)の座標は、やはり安直に
$x_2&=&a_2\cos\theta_1\nonumber\\y_2&=&a_2\sin\theta_1$
です。第２関節から第３関節まで、すなわち(x-x2, y-y2)は、長さがa3、角度は基準座標から見るとθ1＋θ2です。よって、
$x-x_2&=&a_3\cos(\theta_1+\theta_2)\nonumber\\y-y_2&=&a_3\sin(\theta_1+\theta_2)$
あわせて、
$x&=&a_2\cos\theta_1+a_3\cos(\theta_1+\theta_2)\nonumber\\y&=&a_2\sin\theta_1+a_3\sin(\theta_1+\theta_2)$
となります。講義で求めた同時変換行列の、第４列(並進部分)と一致することを確認してください。

第６回(04/07/05) 空間回転の順番

Ｑ：
車輪直径 2r=100mm、車輪間隔 2d=200mm の対向２輪型ロボットにおいて、一定角速度で右車輪が３π、左車輪がπ前進方向に回転した。ロボットの移動軌跡を図示せよ。

Ａ：
$\Delta L_R&=&\phi_R r=3\pi\times50=150\pi\nonumber\\ \Delta L_L&=&\phi_L r=\pi\times50=50\pi$
$\Delta L&=&(\Delta L_R+\Delta L_L)/2=100\pi \nonumber\\ \Delta \theta&=&(\Delta L_R-\Delta L_L)/2d=\pi/2 \nonumber\\ \rho&=&\Delta L/\Delta \theta=200$
よって、ロボットは半径200mmでπ/2旋回する。これを適宜図示すればよい。

解答をみて気づいたこと：
多くの学生さんは上記計算が出来ていますが、そのあとの図示がちゃんとできていません。ロボットに限らず、機械分野では計算結果や設計結果を正しく思い浮かべることが重要です。今回の結果を図式化するにあたって考慮すべき点は

ロボットの旋回半径は200mmで、これは「車輪間隔に等しい幅」であること
ロボットの旋回角はπ/2＝90度、直角であること。

の２点です。皆さんの書いた図で多かった例は、９０度は出来ていても、半径と車輪間隔の関係がいい加減というものでした。また、旋回を扇形で示し、その角度が３０度もないのに、そこにπ/2と記載するケースもそこそこありました。車輪移動ロボットの場合、どの辺りを中心に回るかで障害物に当る当らないなどの影響が出るため、きっちりイメージすることが望まれます。

プチテスト＆レポート 2004

傾向と対策？

プチテストとその解答例